कक्षा 10 प्रश्नावली 1.1 परिमेय संख्या कक्षा 10 पद्धति क पूराहाल का पूरा हाल

 

कक्षा 10 गणित

अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

प्रमुख विषयवस्तु:

1. Euclid's Division Lemma
2. गुणनखंड (Prime Factorization)
3. सर्वसमापवर्त्य (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)
4. अशुद्धि और परिमेय संख्याएँ (Irrational and Rational Numbers)

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प्रश्न 1:

दो संख्याओं 135 और 225 का HCF और LCM निकालिए।

हल:
Euclid’s Division Lemma के अनुसार,
$a = bq + r$
जहाँ $a$ और $b$ दो संख्याएँ हैं, $q$ भागफल है, और $r$ शेषफल है।
यह प्रक्रिया तब तक चलती है जब $r = 0$ हो।

Step 1: $a = 225$, $b = 135$
$225 = 135 \times 1 + 90$

Step 2: $a = 135$, $b = 90$
$135 = 90 \times 1 + 45$

Step 3: $a = 90$, $b = 45$
$90 = 45 \times 2 + 0$

जब शेषफल 0 हो, तब $b = 45$ HCF होगा।
HCF = 45

LCM निकालने का सूत्र:
$\text{HCF} \times \text{LCM} = \text{Product of two numbers}$
$45 \times \text{LCM} = 135 \times 225$
$\text{LCM} = \frac{135 \times 225}{45} = 675$
LCM = 675

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प्रश्न 2:

सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2}$ एक अशुद्धि संख्या है।

हल:
मान लेते हैं कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका मतलब, इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।
इसके अलावा, $p$ और $q$ सह-परिमेय (coprime) हैं।

अब,
$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$
$2 = \frac{p^2}{q^2}$
$p^2 = 2q^2$

इससे पता चलता है कि $p^2$ 2 से विभाज्य है, इसका मतलब $p$ भी 2 से विभाज्य है।
इसलिए, मान लें $p = 2k$।
$(2k)^2 = 2q^2$
$4k^2 = 2q^2$
$q^2 = 2k^2$

इसका मतलब $q^2$ भी 2 से विभाज्य है, इसलिए $q$ भी 2 से विभाज्य है।

इससे $p$ और $q$ दोनों 2 से विभाज्य हैं, जो सह-परिमेय होने की परिभाषा का खंडन करता है।
इसलिए, हमारा प्रारंभिक अनुमान गलत है।
अतः $\sqrt{2}$ एक अशुद्धि संख्या है।

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प्रश्न 3:

दिखाइए कि 6 का घनमूल (cube root) परिमेय संख्या नहीं है।

हल:
मान लेते हैं कि $\sqrt[3]{6}$ परिमेय संख्या है।
इसका मतलब इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ सह-परिमेय हैं।

अब,
$\sqrt[3]{6} = \frac{p}{q}$
$6 = \frac{p^3}{q^3}$
$p^3 = 6q^3$

इससे पता चलता है कि $p^3$ 6 से विभाज्य है, अतः $p$ भी 6 से विभाज्य है।
मान लें $p = 6k$:
$(6k)^3 = 6q^3$
$216k^3 = 6q^3$
$q^3 = 36k^3$

इससे $q^3$ भी 6 से विभाज्य है, अतः $q$ भी 6 से विभाज्य है।
इससे $p$ और $q$ दोनों 6 से विभाज्य हैं, जो सह-परिमेय होने की परिभाषा का खंडन करता है।
अतः $\sqrt[3]{6}$ अशुद्धि संख्या है।

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